7 cubes et 24 faces décorées, la forme 3D sans répétition dessinée par une IA

Vous connaissez le carrelage de votre salle de bains : le motif revient, rangée après rangée. Une forme vient de faire exactement l’inverse. Chair44, un solide de sept cubes portant 24 panneaux décorés, pave l’espace à trois dimensions sans qu’aucun motif s’y répète : le préprint qui l’établit a été déposé sur arXiv le 16 septembre 2026. Son auteur, Ioannis Tsiokos, y écrit que le solide a été dessiné par un modèle de raisonnement d’IA.

Le nom n’a rien de poétique. Les sept cubes unités du solide dessinent une marche d’escalier, ou une chaise selon l’angle, et la chaise a donné le nom. Volume 7, et la topologie d’une boule fermée : le solide est d’un seul morceau, sans trou. Ses 24 faces carrées exposées portent de minuscules pyramides, en creux ou en relief. Vraiment minuscules : sur un cube ramené à 50 centimètres d’arête, chaque pyramide ferait 1 centimètre de côté pour 5 centièmes de millimètre de haut (base 1/50 d’arête, hauteur 1/10 000 dans le préprint de Chair44). Ce sont elles qui interdisent la répétition.

Ce que « apériodique » veut dire, concrètement

Un pavage périodique se retrouve identique à lui-même dès qu’on le fait glisser dans la bonne direction. Chair44 interdit ce glissement. Le préprint prouve que tout pavage de l’espace par ce solide n’a aucune période de translation, avec un groupe de symétries d’ordre 24 au maximum. Les réflexions sont autorisées, mais aucun pavage ne mélange les deux mains : chaque pavage est homochiral, entièrement gaucher ou entièrement droitier. À la place de la répétition, il y a une hiérarchie : les tuiles se regroupent en super-tuiles, qui se regroupent à leur tour, à l’infini.

Joshua Socolar et Joan Taylor demandaient un solide unique, d’un seul morceau, qui force la non-périodicité par sa seule forme. Deux candidats existaient, et tous deux échouaient. Le biprisme de Schmitt, Conway et Danzer pave l’espace sans période, mais il tolère des mouvements hélicoïdaux. La tuile de Socolar et Taylor transposée en trois dimensions laisse passer une direction d’empilement périodique. Chair44 ne laisse ni l’un ni l’autre.

Le chapeau de 2023 avait été découpé dans du carton

Le 20 mars 2023, quatre auteurs déposaient « An aperiodic monotile » : le « chapeau », une tuile unique qui pave le plan sans jamais répéter son motif. Le premier signataire vient d’ailleurs. David Smith est un bricoleur de mathématiques installé à Bridlington, dans le Yorkshire, qui découpait ses tuiles dans du carton avant d’appeler Craig Kaplan pour faire vérifier le motif par ordinateur (Plus Magazine, 18 janvier 2024). Le chapeau avait besoin de son image miroir pour tenir.

Chair44 a suivi l’autre chemin. Tsiokos raconte avoir formulé ce qu’est une monotuile apériodique dans un cadre théorique de son cru, le « Six Birds emergence calculus ». Il a ensuite demandé à un modèle de raisonnement d’IA de dessiner un solide conforme à cette description. Il coupe court à la lecture facile : « Le cadre a fourni une lecture et un test. Il ne prouve rien sur Q. » La preuve ne vient donc pas du modèle. Elle combine un argument géométrique écrit et des énumérations finies exhaustives, rejouées par deux implémentations indépendantes. Chaque porte finie passe au noyau de Lean 4, l’assistant de preuve. Le partage des rôles se retrouve ailleurs : deux théorèmes de géométrie ont été démontrés sur un processeur quantique de 121 qubits.

Quatre dépôts jalonnent l’histoire, dont trois en six jours de septembre 2026.

À quoi peut servir un solide qui ne se répète pas

Felix Flicker, physicien à l’université de Bristol, a déposé le 20 septembre des règles de contact plus simples pour la même structure. Son objectif est écrit noir sur blanc : faciliter les réalisations physiques de ce pavage. Des flèches colorées sur les faces suffisent, et même, montre-t-il, la seule couleur des carrés, sans tenir compte de leur orientation. « Tout système physique encodant ces règles, géométriquement ou autrement, forcera le pavage fortement apériodique », écrit-il. Les pistes qu’il nomme sont déjà des techniques existantes : colloïdes « lock-and-key », où une bille se fixe dans une alvéole, colloïdes cubiques, auto-assemblage d’ADN, réseaux d’atomes montés dans des pinces optiques.

Le lendemain, 21 septembre, Chaim Goodman-Strauss publiait à son tour des notes sur le solide. L’un des quatre auteurs du chapeau de 2023 s’occupe désormais de rendre la version en trois dimensions lisible. Huit pages, cinq figures, et un patron à assembler chez soi : trois ans après le carton de Bridlington, la forme se monte encore à la main.

Article créé en collaboration avec l’IA.